Question

實軸長為的橢圓的中心在原點，其焦點F₁，，F₂在x軸上．拋物線的頂點在原點O，對稱軸為y軸，兩曲線在第一象限內相交于點A，且AF₁⊥AF₂，△AF₁F₂的面積為3．
（Ⅰ）求橢圓和拋物線的標準方程；
（Ⅱ）過點A作直線l分別與拋物線和橢圓交于B，C，若，求直線l的斜率k．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設橢圓方程為，AF₁=m，AF₂=n，由題意知，由此能求出橢圓的方程和拋物線方程．
（Ⅱ）設直線l的方程為，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．由，得，聯立直線與拋物線的方程，得，．聯立直線與橢圓的方程，得．由此能求出直線l的斜率．
解答：解：（Ⅰ）設橢圓方程為，AF₁=m，AF₂=n

由題意知…（2分）
解得c²=9，∴b²=12-9=3．
∴橢圓的方程為…（4分）
∵y_A×c=3，∴y_A=1，代入橢圓的方程得，
將點A坐標代入得拋物線方程為x²=8y．         …（6分）
（Ⅱ）設直線l的方程為，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
由得，
化簡得…（8分）
聯立直線與拋物線的方程，
得
∴①…（10分）
聯立直線與橢圓的方程
得
∴②…（12分）
∴
整理得：∴，所以直線l的斜率為．       …（14分）
點評：本題考查橢圓和拋物線的標準方程的求法和求直線l的斜率k．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，靈活運用橢圓性質，合理地進行等價轉化．