Question

已知函數，，其中為常數，  ，函數的圖象與坐標軸交點處的切線為，函數的圖象與直線交點處的切線為，且。

（Ⅰ）若對任意的，不等式成立，求實數的取值范圍.

（Ⅱ）對于函數和公共定義域內的任意實數。我們把 的值稱為兩函數在處的偏差。求證：函數和在其公共定義域的所有偏差都大于2.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用參數分離法將不等式問題轉化為，等價轉化為處理，于是問題的核心就是求函數，利用導數求解，但同時需要注意題中的隱含條件將的值確定下來；（Ⅱ）先確定函數與函數的解析式，然后引入函數，通過證明，進而得到

，得到，于是就說明原結論成立.

試題解析：解（Ⅰ）函數的圖象與坐標軸的交點為，

又  

函數的圖象與直線的交點為，

又 

由題意可知，

又，所以               3分

不等式可化為

即

令，則，

又時，，，

故，在上是減函數

即在上是減函數

因此，在對任意的，不等式成立，

只需

所以實數的取值范圍是               8分

（Ⅱ）證明：和的公共定義域為，由（Ⅰ）可知，

令，則，

在上是增函數

故，即             ①

令，則，

當時，；當時，，

有最大值，因此     ②

由①②得，即

又由①得

  由②得

故函數和在其公共定義域的所有偏差都大于2              13分

考點：函數圖象的切線方程、參數分離法、函數不等式