Question

下列關于函數f（x）=（2x-x²）e^x的判斷正確的是（　　）
①f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜2}；
②f（-

2

）是極小值，f（

2

）是極大值；
③f（x）沒有最小值，也沒有最大值．

• A、①③
• B、①②③
• C、②
• D、①②

Answer 1

分析：令f（x）＞0可解x的范圍確定①正確；
對函數f（x）進行求導，然后令f'（x）=0求出x，在根據f'（x）的正負判斷原函數的單調性進而可確定②正確．
根據函數的單調性可判斷極大值即是原函數的最大值，無最小值，③不正確．從而得到答案．

解答：解：由f（x）＞0?（2x-x²）e^x＞0?2x-x²＞0?0＜x＜2，故①正確；
f′（x）=e^x（2-x²），由f′（x）=0得x=±

2

，
由f′（x）＜0得x＞

2

或x＜-

2

，
由f′（x）＞0得-

2

＜x＜

2

，
∴f（x）的單調減區間為（-∞，-

2

），（

2

，+∞）．單調增區間為（-，

2

）．
∴f（x）的極大值為f（

2

），極小值為f（-

2

），故②正確．
∵x＜-

2

時，f（x）＜0恒成立．
∴f（x）無最小值，但有最大值f（

2

）
∴③不正確．
故選D．

點評：本題主要考查函數的極值與其導函數關系，即函數取到極值時導函數一定等于0，但導函數等于0時還要判斷原函數的單調性才能確定原函數的極值點．