Question

（本小題滿分16分）

已知數列{a_n}的通項公式為a_n = (nÎN^*).

⑴求數列{a_n}的最大項；

⑵設b_n = ，試確定實常數p，使得{b_n}為等比數列；

⑶設，問：數列{a_n}中是否存在三項，，，使數列，，是等差數列？如果存在，求出這三項；如果不存在，說明理由.

Answer 1

解 ⑴由題意a_n = 2 + ,隨著n的增大而減小,所以{a_n}中的最大項為a₁ = 4.…4分

⑵b_n =  =  = ，若{b_n}為等比數列，

則b – b_nb_{n+2= 0(nÎN* )所以 [(2 + p)3n+1 + ( 2 – p)]2 – [{2 + p)3n + (2 – p)][(2 + p)3n+2 + (2 – p)] = 0(nÎN*)，}

_{化簡得(4 – p2)(2·3n+1 – 3n+2 – 3n ) = 0即– (4 – p2)·3n·4 = 0,解得p = ±2.} ………………………7分

_{反之,當p = 2時,bn = 3n,{bn}是等比數列;當p = – 2時,bn = 1,{bn}也是等比數列.所以,當且僅當p = ±2時{bn}為等比數列.} ………………………………………………………………10分

⑶因為，，，若存在三項，，，使數列，，是等差數列，則，所以=，……………12分

化簡得（*），因為，所以，，所以，，（*）的

左邊，

右邊，所以（*）式不可能成立，

故數列{a_n}中不存在三項，，，使數列，，是等差數列. ……………16分