Question

已知函數y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函數，當x>0時，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<

(1)試求函數f(x)的解析式；

(2)問函數f(x)圖象上是否存在關于點(1，0)對稱的兩點，若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由。

Answer 1

(1) f(x)=x+ 

(2) y=f(x)圖象上存在兩點(1+,2),(1－,－2)關于(1，0)對稱

解析:

(1)∵f(x)是奇函數，

∴f(－x)=－f(x),即…………………(2分)

∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,

∴f(x)= ≥2  …………………………(4分)

當且僅當x=時等號成立，于是2=2,∴a=b2,

由f(1)＜得即,∴2b2－5b+2＜0,解得＜b＜2，又b∈N,∴b=1,∴a=1,

∴f(x)=x+。………………………………………(7分)

(2)設存在一點(x0,y0)在y=f(x)的圖象上，并且關于(1，0）的對稱點(2－x0,－y0)也在y=f(x)圖象上，

則………………………………………(10分)

消去y₀得    , =1±。………………………………(13分)

∴y=f(x)圖象上存在兩點(1+,2),(1－,－2)關于(1，0)對稱。…(14分)