Question

已知函數f(x)=2asinxcosx-

2

a(sinx+cosx)+a+b的定義域為[0，

π

2

]，值域為[-1，2]．
（1）求實數a，b的值；
（2）數列{a_n}中，有an=

n-b

n-a

(n∈N*)．則該數列有最大項、最小項嗎？若有，求出數列的最大項、最小項；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，由x∈[0，

π

2

]，知t∈[1，

2

]，由sinxcosx=

t2-1

2

，知函數為y=2a

t2-1

2

-

2

at+a+b=a(t-

2

2

)2+b-

1

2

a，由此利用分類討論思想能求出實數a，b的值．
（2）當

a=3( 2 +1) b=2

時，an=

n-2

n-(3 2 +3)

=1+

3 2 +1

n-(3 2 +3)

；當

a=-3( 2 +1) b=-1

，an=

n+1

n+(3 2 +3)

=1-

3 2 +2

n+(3 2 +3)

，由此能求出數列的最大項、最小項．

解答：解：（1）設t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，
由x∈[0，

π

2

]，知t∈[1，

2

]，…（2分）
又sinxcosx=

t2-1

2

，
則函數為y=2a

t2-1

2

-

2

at+a+b=a(t-

2

2

)2+b-

1

2

a，…（4分）
即g(t)=at2-

2

at+b=a(t-

2

2

)2+b-

1

2

a，t∈[1，

2

]，…（5分）
①當a＞0時，g（t）在t∈[1，

2

]單調遞增，
有

g(1)=-1 g( 2 )=2

，得

a=3( 2 +1) b=2

；　　　　　…（6分）
②當a=0時，g（t）=b不合；　　　　　　　　　　…（7分）
③當a＜0時，g（t）在t∈[1，

2

]單調遞減，
有

g(1)=2 g( 2 )=-1

，得

a=-3( 2 +1) b=-1

；　　　　…（8分）
（2）①當

a=3( 2 +1) b=2

時，
an=

n-2

n-(3 2 +3)

=1+

3 2 +1

n-(3 2 +3)

，
當n=7時，最小項為a7=-10-

15

2

2

，
當n=8時，最大項為a8=

30+18 2

7

；　　　　…（11分）
②當

a=-3( 2 +1) b=-1

時，
an=

n+1

n+(3 2 +3)

=1-

3 2 +2

n+(3 2 +3)

，
當n=1時，最小項為a1=3

2

-4，無最大項；…（14分）

點評：本題考查滿足條件的實數值的求法，考查數列的最大項與最小項的求法，解題時要認真審題，注意數列和三角函數的綜合應用，合理運用分類討論思想、等價轉化思想、數形結合思想進行解題．