Question

A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進行對比試驗．每個試驗組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效．若在一個試驗組中，服用A有效的小白鼠的只數比服用B有效的多，就稱該試驗組為甲類組．設每只小白鼠服用A有效的概率為

2

3

，服用B有效的概率為

1

2

．
（Ⅰ）求一個試驗組為甲類組的概率；
（Ⅱ） 觀察3個試驗組，用n表示這3個試驗組中甲類組的個數，求n取不同值時的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個獨立重復試驗，根據所給的兩種藥物對小白鼠有效的概率，計算出小白鼠有效的只數的概率，對兩種藥物有效的小白鼠進行比較，得到甲類組的概率．
（2）由題意知本試驗是一個甲類組的概率不變，實驗的條件不變，可以看做是一個獨立重復試驗，所以變量服從二項分布，根據二項分布的性質寫出變量的概率．

解答：解：（1）設A_i表示事件“一個試驗組中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，
B_i表示事件“一個試驗組中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，
依題意有：P（A₁）=2×

1

3

×

2

3

=

4

9

，P（A₂）=

2

3

×

2

3

=

4

9

．P（B₀）=

1

2

×

1

2

=

1

4

，
P（B₁）=2×

1

2

×

1

2

=

1

2

，
所求概率為：P=P（B₀•A₁）+P（B₀•A₂）+P（B₁•A₂）=

1

4

×

4

9

+

1

4

×

4

9

+

1

2

×

4

9

=

4

9

（Ⅱ） n的可能值為0，1，2，3且n～B（3，

4

9

）．
P（n=0）=（

5

9

）³=

125

729

，
P（n=1）=C₃¹×

4

9

×（

5

9

）²=

100

243

P（n=2）=C₃²×（

4

9

）²×

5

9

=

80

243

，
P（n=3）=（ 

4

9

）³=

64

729

點評：本題考查相互獨立事件的概率，這種類型是近幾年高考題中經常出現的，結合考查離散型隨機變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道問題