Question

在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a、b、c，若

m

=（

3

sinA-cosA，1），

n

=（cosC，cosB），且

m

∥

n

．
（1）求∠B的大小；
（2）若a+c=1，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由已知向量平行的坐標關系得到cosC+（cosA-

3

sinA）cosB=0，整理后根據sinA不為0求出tanB的值，由B為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；
（2）由余弦定理列出關系式，變形后將a+c及cosB的值代入表示出b²，根據a的范圍，利用二次函數的性質求出b²的范圍，即可求出b的范圍．

解答： 解：（1）∵

m

=（

3

sinA-cosA，1），

n

=（cosC，cosB），且

m

∥

n

．
得cosC+（cosA-

3

sinA）cosB=0，
∴-cos（A+B）+cosAcosB-

3

sinAcosB=0，
即sinAsinB-

3

sinAcosB=0，
∵sinA≠0，∴sinB-

3

cosB=0，即tanB=

3

，
又B為三角形的內角，
則B=

π

3

；
（2）∵a+c=1，即c=1-a，cosB=

1

2

，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2ac•cosB，即b²=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=1-3a（1-a）=3（a-

1

2

）²+

1

4

，
∵0＜a＜1，∴

1

4

≤b²＜1，
則

1

2

≤b＜1．

點評：此題考查了余弦定理，二次函數的性質，誘導公式，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．