Question

已知函f（x）=In（ax+1）+

1

2

x2-

x

a

+b（a，b為常數，a＞0）
（1）若函數f（x）的圖象在點（0，f（0））處的切線方程y=2，求a、b的值；
（2）當b=2時若函數f（x）在區間[0，+∞）上的最小值為2，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先對函數求導，f′(x)=

a

ax+1

+x-

1

a

，由已知f′‘（0）=0可求a，然后由切線方程可求切點坐標，進而可求b
（II）由f′(x)=

a

ax+1

+x-

1

a

=

ax2+a- 1 a

ax+1

，通過判斷f′（x）的符合求解函數在區間[0，+∞）上的單調性，進而可求函數f（x）的最小值，結合已知即可求解a的范圍

解答：解（I）對函數求導可得，f′(x)=

a

ax+1

+x-

1

a

由題意可得，f′（0）=0
∴a-

1

a

=0
∵a＞0
∴a=1，
∵切點坐標為（0，2）
∴b=2
（II）∵f′(x)=

a

ax+1

+x-

1

a

=

ax2+a- 1 a

ax+1

∵x≥0，x＞0
∴ax+1＞0
（1）當a≥1時，f′（x）≥0在區間[0，+∞）上恒成立
故f（x）在區間[0，+∞）上單調遞增，此時f（x）_min=f（0）=2，符合題意
（2）當0＜a＜1時，由f′（x）＞0可得，x＞

1-a2

a

；由f′（x）＜0可得0≤x＜

1-a2

a

∴f（x）在區間[0，

1-a2

a

）上單調遞減，在區間（

1-a2

a

，+∞）上單調遞增
∴f（x）_min=f（

1-a2

a

）=，而f（0）=2不合題意
綜上可得實數a的取值范圍是[1，+∞）

點評：本題主要考查了函數的導數在函數的單調性的判斷中的應用，體現了分類討論思想的應用，屬于函數的導數知識的簡單綜合