Question

【題目】設函數f（x）的定義域是（0，+∞），對于任意正實數m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且當x＞1時，f（x）＞0，f（2）=1．
（1）求 的值；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數；
（3）求方程4sinx=f（x）的根的個數．

Answer 1

【答案】
（1）解：令m=n=1，則f（1）=f（1）+f（1），

∴f（1）=0

令 ，則 ，

∴

（2）解：設0＜x1＜x2，則

∵當x＞1時，f（x）＞0

∴

所以f（x）在（0，+∞）上是增函數

（3）解：∵y=4sinx的圖象如右圖所示

又f（4）=f（2×2）=2，f（16）=f（4×4）=4

由y=f（x）在（0，+∞）上單調遞增，

且f（1）=0，f（16）=4可得y=f（x）的圖象大致形狀如右圖所示，

由圖象在[0，2π]內有1個交點，

在（2π，4π]內有2個交點，

在（4π，5π]內有2個交點，又5π＜16＜6π，

后面y=f（x）的圖象均在y=4sinx圖象的上方．

故方程4sinx=f（x）的根的個數為5個

【解析】（1）利用賦值法，對于任意正實數m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），可令m=n=1，先求出f（1），然后令 ，即可求出 的值；（2）先在定義域內任取兩個值x1 ， x2 ， 并規定大小，然后判定出f（x1），與f（x2）的大小關系，根據單調增函數的定義可知結論；（3）分別畫出y=4sinx的圖象與y=f（x）的圖象，結合圖象以及函數的單調性判定出交點的個數即可．
【考點精析】關于本題考查的函數單調性的判斷方法，需要了解單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較才能得出正確答案．