Question

（14分）一船由甲地逆水駛至乙地，甲、乙兩地相距 S （km）,水的流速為常量a（km/h）,船在靜水中的最大速度為b (km/h)  (b>2a)，已知船每小時的燃料費用(單位：元)與船在靜水中的速度 v（km/h） 的平方成正比，比例系數為 k ,問：
（1）船在靜水中的航行速度 v 為多少時，全程燃料費用最少？
（2）若水速 a =" 8.4" km/h，船在靜水中的最大速度為b="25" km/h,要使全程燃料費用不超過40 k S元，求船在靜水中的航行速度v 的范圍。

Answer 1

（1）船在靜水中速度 v =" 2a" (km/h)時，全程燃料費最少。
(2)當 12≤ v ≤ 25 時，全程燃料費不超過40kS元.

本試題主要是考查了函數在物理中的運用。
（1）根據已知中的條件可知設設全程燃料費用為 y，故全程所需時間為
，那么y = kv ^2  ，進而得到解析式，，分析定義域和不等式的思想得到最值。
（2）由以知得 ，得到得 ，解不等式得到范圍進而得到最值。
解：(1)設全程燃料費用為 y .    …… 1分
∵ 全程所需時間為
∴   y = kv ²                    ……2分
=     ……3分
=      v∈( a , b ]    ……4分
∵  v ­­– a > 0 ∴  y≥ 4akS ,      …… 5分
當且僅當  ， 即 v =" 2a" 時取等號，……6分
∵  2a ∈ ( a, b ] （ 7分）   ∴ 當  v = 2a時，全程燃料費最少. ……8分
(2) 由以知得      ……10分
得     12 ≤ v ≤ 28 . 
∵v ≤ b  12≥a ∴  12 ≤ v ≤ 25       ……13分
答 （1）船在靜水中速度 v =" 2a" (km/h)時，全程燃料費最少。
(2)當 12≤ v ≤ 25 時，全程燃料費不超過40kS元.           ……14分