Question

【題目】

已知函數，。

（1）若函數在處的切線與函數在處的切線互相平行，求實數的值；

（2）設函數。

（ⅰ）當實數時，試判斷函數在上的單調性；

（ⅱ）如果是的兩個零點，為函數的導函數，證明：。

Answer 1

【答案】(1);(2)(i)函數在上單調遞減.(ii)見解析。

【解析】

試題分析：（1）分別求函數的導數得，，由求出即可；（2）（i）由 及可得在上恒成立，所以在上單調遞減；（ii）由是的兩個零點，可得，，從而有，即，所以，構造函數，討論其單調性可得，又，從而證得結論成立。

試題解析：（1）由，得，在處切線互相平行時，切線斜率相等，于是，。

（2）（1）

易知在上單調遞減，

∴當時，

當時，在上恒成立。

∴當時，函數在上單調遞減。

（2）因為是的兩個零點，故①

②，由②-①得：

解得

因為，

將代入得

設，構造，，

∵，，∴，

∴在單調增且，∴，又

∴。