Question

在正方形ABCD中，E、F分別為AB、BC的中點，用向量求證：AF⊥DE．

Answer 1

分析：可得

AF

=

AB

+

1

2

AD

，

DE

=

1

2

AB

-

AD

，故

AF

•

DE

=

1

2

AB

2-

1

2

AD

2-

3

4

AB

•

AD

=0，可得結論．

解答：解：由題意可得

AF

=

AB

+

BF

=

AB

+

1

2

AD

，
同理

DE

=

AE

-

AD

=

1

2

AB

-

AD

，
故

AF

•

DE

=（

AB

+

1

2

AD

）（

1

2

AB

-

AD

）
=

1

2

AB

2-

1

2

AD

2-

3

4

AB

•

AD

設正方形ABCD的邊長為a，
由AB⊥AD可知

AB

•

AD

=0，
故上式=

1

2

a

2-

1

2

a2=0，
故

AF

⊥

DE

，AF⊥DE

點評：本題考查數量積判斷兩個向量的垂直關系，把向量用同一組向量表示是解決問題的關鍵，屬基礎題．