Question

已知函數f（x）=lnx，g（x）=ax²+bx（a≠0）
（I）若a=-2時，函數h（x）=f（x）-g（x）在其定義域內是增函數，求b的取值范圍；
（II）若a=2，b=1，若函數k=g（x）-2f（x）-x²在[1，3]上恰有兩個不同零點，求實數k的取值范圍；
（III）設函數f（x）的圖象C₁與函數g（x）的圖象C₂交于P，Q兩點，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C₁、C₂于M、N兩點，問是否存在點R，使C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（I）h（x）=lnx+x²-bx，且函數的定義域為（0，+∞）
∴依題知對（0，+∞）恒成立，
∴
∵x＞0，
∴
（II）函數k（x）=g（x）-2f（x）-x²在[1，3]上恰有兩個不同的零點等價于方程
x-2lnx=a，在[1，3]上恰有兩個相異實根．
令m（x）=x-2lnx，
∴
∴m（x）在[1，2]上單減，在（2，3]上單增，
m（x）的最小值是2-2ln2
故2-2lnx＜k＜3-2ln3
（III）設點P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂）
則PQ的中點R的橫坐標
C₁在點M處的切線的斜率為
C₂在點N處的切線的斜率為+b
假設C₁點M處的切線與C₂在點N處的切線平行，則斜率相等
即ln=
設
則lnu=①
令r（u）=lnu- （u＞1）
則
∵u＞1，r^′（u）＞0
∴r（u）單調遞增，
故r（u）＞r（1）=0，lnu＞②
∵①與②矛盾，
∴假設不成立，故C₁點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行．
分析：（I）對函數求導，根據函數的單調性得到函數的導函數在定義域上不小于0，恒成立，根據基本不等式求出b的范圍．
（II）把函數在規定的區間上有零點，相當于函數對應的方程在這個區間上有解，構造新函數，根據對函數求導得到函數最值，求出結果．
（III）設出點的坐標，寫出直線的方程，根據直線平行，得到斜率之間的關系，構造新函數，對新函數求導，得到兩個結論是矛盾的．
點評：本題考查函數的導函數的應用，本題是一個壓軸題目，這個題目可以出現在高考卷的最后兩個題目的位是一個比較困難的題目．