Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點E在線段AD上，CE∥AB．
（Ⅰ）求證：CE⊥平面PAD；
（Ⅱ）若PA=AB=1，AD=3，且CD與平面PAD所成的角為45°，求點D到平面PCE的距離．

Answer 1

分析：（I）由已知證PA⊥CE，CE⊥AD，由直線與平面垂直的判定定理可得；
（II）由（I）可知CE⊥AD，計算S_△CED，S_△CEP，利用等體積，即可求得點D到平面PCE的距離．

解答：（I）證明：因為PA⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，所以PA⊥CE，
因為AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD
又PA∩AD=A，所以CE⊥平面PAD
（II）連接PE，由（I）可知CE⊥AD，
∵PA⊥CE，AD∩PA=A，∴CE⊥平面PAD
∵PE?平面PAD，∴CE⊥PE
在Rt△ECD中，DE=CDcos45°=1，CE=CDsin45°=1，∴S_△CED=

1

2

CE•DE=

1

2

在Rt△ECP中，PE=

5

，CE=1，∴S_△CEP=

1

2

CE•PE=

5

2

設點D到平面PCE的距離為h，利用等體積可得：

1

3

×

1

2

×1=

1

3

×

5

2

h
∴h=

5

5

．

點評：本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關系，幾何體的體積等基礎知識，考查數形結合思想，化歸與轉化的思想．