Question

【題目】設 ，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+y+1=0垂直．
（1）求a的值；
（2）若對于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=

由題設f′（1）=1，

∴ ，

∴a=0

（2）解： ，x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1），即4lnx≤m（3x﹣ ﹣2）

設g（x）=4lnx﹣m（3x﹣ ﹣2），即x∈[1，|+∞），g（x）≤0，

∴g′（x）= ﹣m（3+ ）= ，g′（1）=4﹣4m

①若m≤0，g′（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，這與題設g（x）≤0矛盾

②若m∈（0，1），當x∈（1， ），g′（x）＞0，g（x）單調遞增，g（x）≥g（1）=0，與題設矛盾．

③若m≥1，當x∈（1，+∞），），g′（x）≤0，g（x）單調遞減，g（x）≤g（1）=0，即不等式成立

綜上所述，m≥1

【解析】（1）求導，由題意可得f'（1）=1，代入即可求得a的值；（2）由題意可知：4lnx≤m（3x﹣ ﹣2）恒成立，構造輔助函數，求導，分類討論即可求出m的取值范圍