Question

（本小題15分）
設數列{}的前n項和為，并且滿足，（n∈N*）.
（Ⅰ）求，，；
（Ⅱ）猜想{}的通項公式，并用數學歸納法加以證明；
（Ⅲ）設，，且，證明：≤.

Answer 1

解：（Ⅰ）分別令，2，3，得

∵，∴，，.
（Ⅱ）證法一：猜想：，由           ①
可知，當≥2時，  ②
①-②，得 ，即.
1）當時，，∵，∴；
2）假設當（≥2）時，.
那么當時，

，
∵，≥2，∴，
∴.
這就是說，當時也成立，
       ∴（≥2）. 顯然時，也適合.
故對于n∈N*，均有
（Ⅲ）要證≤，
只要證≤，
即≤，
將代入，得≤，.m
即要證≤，即≤1.
∵，，且，∴≤,
即≤，故≤1成立，所以原不等式成立.

略