Question

已知函數f（x）的定義域為[-2，+∞），部分對應值如表格所示，f′（x）為f（x）．的導函數，函數y=f′（x）的圖象如右圖所示： x -2 0 4 f（x） 1 -1 1 若兩正數a，b滿足f(a+2b)＜1，則 b-4 a+4 的取值范圍是（　　）

• A．(

  6

  7

  ，

  4

  3

  )
• B．(

  3

  5

  ，

  7

  3

  )
• C．(

  2

  3

  ，

  6

  5

  )
• D．(-1，-

  1

  2

  )

Answer 1

分析：先根據題意得出函數f（x）的單調性象，再根據f（2a+b）＜1寫出關于a，b的約束條件后畫出可行域，再利用

b-4

a+4

表示點（a，b）與點P（-4，4）連線斜率．據此幾何意義求最值即可．

解答：解：由圖知函數f（x）在[-2，0]上，f′（x）＜0，函數f（x）單減；
函數f（x）在[0，+∞）上，f′（x）＞0，函數f（x）單增；
所以

a＞0 b＞0 a+2b＞-2 a+2b＜4

由不等式組所表示的區域如圖所示，

b-4

a+4

 表示點（a，b）與點P（-4，4）連線斜率，
由圖可知，最小值k_PO=-1，最大值k_PA=-

1

2

，

b-4

a+4

的取值范圍是(-1，-

1

2

)
故選D．

點評：本題主要考查了導數、用平面區域二元一次不等式組等，以及簡單的轉化思想和數形結合的思想，屬中檔題．巧妙識別目標函數的幾何意義是我們研究規劃問題的基礎．