Question

已知兩定點A(0，-1)，C(0，2)，動點M滿足∠MCA=2∠MAC.

(Ⅰ)求動點M的軌跡Q的方程；

(Ⅱ)設曲線Q與y軸的交點為B，點B、F是曲線Q上兩個不同的動點，且=0，直線AE與BF交于點P(x₀，y₀)，求證：為定值;

(Ⅲ)在第(Ⅱ)問的條件下，求證：過點p′(0，y₀)和點E的直線是曲線Q的一條切線.

(Ⅳ)在第(Ⅱ)問的條件下，試問是否存在點E使得(或)，若存在，求出此時點E的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：(Ⅰ)設動點M(x,y),因為∠MCA=2∠MAC

所以

化簡得：y²=1(y＞1)

(Ⅱ)由=0可設點E(x₁,y₁),F(-x₁,y₁)則由A、P、E三點共線可得x₀(y₁+1)=(y₀+1)x₁,同理可得：x₀(y₁-1)=-(y₀-1)x₁,

兩式相乘得：(-1)=(-1),又因為=1,所以==3.

(Ⅲ)點E處曲線Q的切線的斜率為y′=,則切線方程為x₁x-y+3=0,AE、BF的方程為y+1=x,y-1=x,則y₀=,

所以P′在上述切線上,即過點P′(0,y₀)和點E的直線是曲線Q的一條切線.

(Ⅳ)先證：∠CEP′=∠BEA

Tan∠CEP′=(其中用到代換)

Tan∠BEA=由此可得：∠CEP′=∠BEA.

要使,則只需S_△CEP′=S_△BEA,

即|CP′|=|AB|=2.而|CP′|=2＜2,因此不存在點E使得成立.

另解：同前可得∠CEP′=∠BEA,要使

則只需,

即+(2-y₁)(-y₁)=,化簡得-2=0,顯然不成立.