Question

（2011•揚州三模）已知

a

=(

1

2

，

1

2

sinx+

3

2

cosx)，

b

=(1，y)，且

a

∥

b

．設函數y=f（x）．
（1）求函數y=f（x）的解析式．
（2）若在銳角△ABC中，f(A-

π

3

)=

3

，邊BC=

3

，求△ABC周長的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據

a

∥

b

，直接可以得出

1

2

y=

1

2

sinx+

3

2

cosx，進而求出f（x）的解析式；
（2）首先利用（1）得出f(A-

π

3

)=2sin(A-

π

3

+

π

3

)=2sinA=

3

，得出A的度數，然后利用余弦定理得出3=（b+c）²-3bc，利用均值不等式得出（b+c）²≤12，進而得出b+c≤2

3

，即可求出周長的最大值．

解答：解：（1）因為

a

∥

b

，所以

1

2

y=

1

2

sinx+

3

2

cosx，
所以f(x)=2sin(x+

π

3

)
（2）∵f(A-

π

3

)=2sin(A-

π

3

+

π

3

)=2sinA=

3

，
∴sinA=

3

2

．∵A∈(0，

π

2

)，∴A=

π

3

．                       
又BC=

3

，
由余弦定理知，a²=b²+c²-2bccosA，3=（b+c）²-3bc

S(m+1)n

Smn

，（b+c）²≤12，
∴b+c≤2

3

，a+b+c≤a+2

3

，
∴△ABC周長的最大值為3

3

．

點評：本題考查了余弦定理、平行向量，（2）問得出∠A的度數是解題的關鍵，同時要靈活運用余弦定理．屬于中檔題．