Question

（2013•蘭州一模）某售報亭每天以每份0.4元的價格從報社購進若干份報紙，然后以每份1元的價格出售，如果當天賣不完，剩下的報紙以每份0.1元的價格賣給廢品收購站．
（Ⅰ）若售報亭一天購進270份報紙，求當天的利潤y（單位：元）關于當天需求量x（單位：份，x∈N）的函數解析式．
（Ⅱ）售報亭記錄了100天報紙的日需求量（單位：份），整理得下表：

日需求量x	240	250	260	270	280	290	300
頻數	10	20	16	16	15	13	10

以100天記錄的需求量的頻率作為各銷售量發生的概率．
（1）若售報亭一天購進270份報紙，ξ表示當天的利潤（單位：元），求ξ的數學期望；
（2）若售報亭計劃每天應購進270份或280份報紙，你認為購進270份報紙好，還是購進280份報紙好？說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，當x≥270時，y=270×（1-0.4）=162；當x＜270時，y=（1-0.4）x+（270-x）×0.1-（270-x）×0.4，寫成分段函數即可；
（Ⅱ）（1）ξ可取135、144、153、162，分別求其概率可得Eξ，（2）當購進報紙280張時，可得當天的利潤，比較它和Eξ的大小，選大者．

解答：解：（Ⅰ）當x≥270時，y=270×（1-0.4）=162；
當x＜270時，y=（1-0.4）x+（270-x）×0.1-（270-x）×0.4=0.9x-81，
∴y=

0.9x-81，(x＜270) 162，        (x≥270)

(x∈N)…（5分）
（Ⅱ）（1）ξ可取135、144、153、162，
則P（ξ=135）=0.1，P（ξ=144）=0.2，
P（ξ=153）=0.16，P（ξ=162）=0.54．
∴Eξ=135×0.1+144×0.2+153×0.16+162×0.54=154.26．…（9分）
（2）購進報紙280張，當天的利潤為y=（0.6×240-40×0.3）×0.1
+（0.6×250-30×0.3）×0.2+（0.6×260-20×0.3）×0.16（0.6×270-10×0.3）
×0.16+280×0.6×0.38=154.68＞154.26，
所以每天購進280張報紙好                               …（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的期望與方差，涉及函數解析式的求解，屬中檔題．