Question

（2008•上海一模）如圖，正四棱錐P-ABCD底面的四個頂點A，B，C，D在球O的同一個大圓上，點P在球面上，且已知VP-ABCD=

16

3

．
（1）求球O的表面積；
（2）設M為BC中點，求異面直線AM與PC所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）由題意可知，PO⊥平面ABCD，并且是半徑，由體積求出半徑，然后求出球的表面積．
（2）以OP，OA，OB為x，y，z軸建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，進一步求出

AM

，

PC

的坐標，利用向量的數量積公式求出

AM

，

PC

的夾角余弦，得到異面直線AM與PC所成角的大小．

解答：解：（1）解：如圖，正四棱錐P-ABCD底面的四個頂點A，B，C，D在球O的同一個大圓上，點P在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，S_ABCD=2R²，VP-ABCD=

16

3

，
所以

1

3

•2R2•R=

16

3

，R=2，
球O的表面積是16π         
（2）以OP，OA，OB為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則
P（0，0，2），A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），M（-1，1，0），

AM

=(-3，1，0)，

PC

=(-2，0，-2)，
所以cos＜

AM

，

PC

＞=

6

10 8

=

3 5

10

所以異面直線AM與PC所成角的余弦值為

3 5

10

．
所以異面直線AM與PC所成角的大小為arccos

3 5

10

．

點評：本題考查球的內接體問題，球的表面積、體積，考查學生空間想象能力，通過建立空間直角坐標系，將異面直線所成的角通過向量的數量積來解決．