Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，且CD=2AB．
（1）若AB=AD=a，直線PB與CD所成角為45°，
①求四棱錐P-ABCD的體積；
②求二面角P-CD-B的大小；
（2）若E為線段PC上一點(diǎn)，試確定E點(diǎn)的位置，使得平面EBD垂直于平面ABCD，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）①由AB∥CD，知∠PBA是PB與CD所成的角，故∠PBA=45°所以在直角三角形PAB中，PA=AB=a，由此能求出四棱錐P-ABCD的體積．
②由AB⊥AD，CD∥AB，知CD⊥AD，又PA⊥ABCD，故∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，由此能求出二面角P-CD-B的大小．
（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段PC上，且PE：EC=2：1時(shí)，平面EBD垂直平面ABCD．理由：連AC、BD交于O點(diǎn)，連EO．由△AOB∽△COD，且CD=2AB，知CO=2AO∴PE：EC=AO：CO=1：2，由此能夠推導(dǎo)出平面EBD垂直于平面ABCD．

解答：解：（1）①∵AB∥CD，∴∠PBA是PB與CD所成的角，則∴∠PBA=45°
所以在直角三角形PAB中，PA=AB=a，
VP-ABCD=

1

3

•PA•SABCD=

1

2

a3．（3分）
②∵AB⊥AD，CD∥AB，
∴CD⊥AD，又PA⊥ABCD，
∴PA⊥CD，∴CD⊥PAD，
∴CD⊥PD，
∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，
在直角三角形PDA中，PA=AD=a，
∴∠PDA=45°，即二面角P-CD-B為45⁰．（7分）
（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段PC上，且PE：EC=2：1時(shí)，
平面EBD垂直平面ABCD理由如下：
連AC、BD交于O點(diǎn)，連EO．
由△AOB∽△COD，且CD=2AB
∴CO=2AO∴PE：EC=AO：CO=1：2
∴PA∥EO．…（11分）
∵PA⊥底面ABCD，
∴EO⊥底面ABCD．
又EO在平面EBD內(nèi)，
∴平面EBD垂直于平面ABCD．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查四棱錐體積的求法，考查二面角大小的求法，確定E點(diǎn)的位置，使得平面EBD垂直于平面ABCD．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地化空間問題為平面問題．