Question

設定義在R上的函數f（x）=

|lg|x-1||，(x≠1) 0，(x=1)

，若關于x的方程[f（x）]²+bf（x）+c=0有7個不同的實根，則必有（　　）

• A、b＜0且c=0
• B、b＞0且c＜0
• C、b＜0且c＞0
• D、b≥0且c=0

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：函數的性質及應用

分析：先畫出f（x）的圖象，觀察圖形可知若關于x的方程f²（x）+af（x）+b=3有三個不同實數解滿足的條件，然后圖象對稱性求出三個根即可．

解答： 解：作出f（x）的圖象如圖所示：
設t=f（x），則方程[f（x）]²+bf（x）+c=0等價為t²+bt+c=0，
由圖可知，只有當t=f（x）≥1時，方程t=f（x）有2個根．
當t=f（x）∈（0，1）時，t=f（x）有4個根．
當t=f（x）=0時，t=f（x）有3個根．
若關于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有7個不同實數解，
則等價為t²+bt+c=0的兩個根滿足t₁=0或t₂∈（0，1），
則c=0，此時方程等價為t²+bt=0，
則t（t+b）=0，另外一個根t₂=-b∈（0，1），
則-1＜b＜0．
即-1＜b＜0且c=0
故選：A

點評：本題主要考查了函數與方程的綜合運用，以及函數的圖象與方程之間的關系，利用數形結合是解決本題的關鍵．