Question

已知動點P（x，y）（y≥0）到定點F（0，1）的距離和它到直線y=-1的距離相等，記點P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設圓M過點A（0，2），且圓心M（a，b）在曲線C上，若圓M與x軸的交點分別為E（x₁，0）、G（x₂，0），求線段EG的長度．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的定義可知曲線C是以F（0，1）為焦點，y=-1為準線的拋物線，進而求得p，則拋物線方程可得．
（2）表示出圓的半徑，則圓的方程可得，令y=0，根據韋達定理求得x₁+x₂和x₁•x₂的表達式，進而求得（x₁-x₂）²，把點M代入拋物線方程求得a和b的關系，進而求得|x₁-x₂|的值．

解答：解：（1）依題意知，曲線C是以F（0，1）為焦點，y=-1為準線的拋物線
∵焦點到準線的距離p=2
∴曲線C方程是x²=4y
（2）∵圓M的半徑為

a2+(b-2)2

∴其方程為（x-a）²+（y-b）²=a²+（b-2）²
令y=0得：x²-2ax+4b-4=0
則x₁+x₂=2a，x₁•x₂=4b-4
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（2a）²-4（4b-4）=4a²-16b+16
又∵點M（a，b）在拋物線x²=4y上，∴a²=4b，
∴（x₁-x₂）²=16，即|x₁-x₂|=4
∴線段EG的長度是4．

點評：本題主要考查了圓方程得綜合應用，拋物線的定義，拋物線的簡單性質．