Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）證明當時，關于的不等式恒成立；

（Ⅲ）若正實數滿足，證明.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析

【解析】試題分析：（1）求導函數，從而可確定函數的單調性；（2）構造函數，利用導數研究其最值，將恒成立問題進行轉化；（3）將代數式放縮，構造關于的一元二次不等式，解不等式即可．

試題解析：（Ⅰ） ，

由，得，

又，所以.

所以的單調減區間為，函數的增區間是.

（Ⅱ）令 ，

所以 .

因為，

所以.

令，得.

所以當，；

當時，.

因此函數在是增函數，在是減函數.

故函數的最大值為

.

令，因為，

又因為在是減函數.

所以當時，，

即對于任意正數總有.

所以關于的不等式恒成立.

（Ⅲ）由，

即 ，

從而 .

令，則由得，.

可知，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增.

所以，

所以，

又，

因此成立.