Question

已知⊙C過點P（1，1），且與⊙M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）關于直線x+y+2=0對稱．
（Ⅰ）求⊙C的方程；
（Ⅱ）設Q為⊙C上的一個動點，求

PQ

•

MQ

的最小值；
（Ⅲ）過點P作兩條相異直線分別與⊙C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標原點，試判斷直線OP和AB是否平行？請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設圓心的坐標，利用對稱的特征：①點與對稱點連線的中點在對稱軸上；②點與對稱點連線的斜率與對稱軸的斜率之積等于
-1，求出圓心坐標，又⊙C過點P（1，1），可得半徑，從而寫出⊙C方程．
（Ⅱ）設Q的坐標，用坐標表示兩個向量的數量積，化簡后再進行三角代換，可得其最小值．
（Ⅲ）設出直線PA和直線PB的方程，將它們分別與⊙C的方程聯立方程組，并化為關于x的一元二次方程，由x=1一定是該方程的解，可求得A，B的橫坐標（用k表示的），化簡直線AB的斜率，將此斜率與直線OP的斜率作對比，得出結論．

解答：解：（Ⅰ）設圓心C（a，b），則

a-2 2 + b-2 2 +2=0 b+2 a+2 =1

，解得

a=0 b=0

（3分）
則圓C的方程為x²+y²=r²，將點P的坐標代入得r²=2，
故圓C的方程為x²+y²=2（5分）
（Ⅱ）設Q（x，y），則x²+y²=2，

PQ

•

MQ

=(x-1，y-1)•(x+2，y+2)（7分）
=x²+y²+x+y-4=x+y-2，令x=

2

cosθ，y=

2

sinθ，
∴

PQ

•

MQ

=

2

cosθ+

2

sinθ-2=2sin（θ+

π

4

）-2，∴（θ+

π

4

）=2kπ-

π

2

時，2sin（θ+

π

4

）=-2，
所以

PQ

•

MQ

的最小值為-2-2=-4． （10分）
（Ⅲ）由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數，
故可設PA：y-1=k（x-1），PB：y-1=-k（x-1），由

y-1=k(x-1) x2+y2=2

，
得（1+k²）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0（11分）
因為點P的橫坐標x=1一定是該方程的解，故可得xA=

k2-2k-1

1+k2

（13分）
同理，xB=

k2+2k-1

1+k2

，所以kAB=

yB-yA

xB-xA

=

-k(xB-1)-k(xA-1)

xB-xA

=

2k-k(xB+xA)

xB-xA

=1=k_OP ，
所以，直線AB和OP一定平行（15分）

點評：本題考查圓的標準方程的求法，兩個向量的數量積公式的應用，直線與圓的位置關系的應用．