Question

已知函數f(x)＝x³－ax＋1.
(1)求x＝1時，f(x)取得極值，求a的值；
(2)求f(x)在[0,1]上的最小值；
(3)若對任意m∈R，直線y＝－x＋m都不是曲線y＝f(x)的切線，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）1   （2）見解析   （3）(－∞，－1)

(1)因為f′(x)＝x²－a，
當x＝1時，f(x)取得極值，所以f′(1)＝1－a＝0，a＝1.
又當x∈(－1,1)時，f′(x)＜0，x∈(1，＋∞)時，f′(x)＞0，
所以f(x)在x＝1處取得極小值，即a＝1符合題意．
(2)當a≤0時，f′(x)＞0對x∈(0,1)成立，
所以f(x)在[0,1]上單調遞增，f(x)在x＝0處取最小值f(0)＝1，
當a＞0時，令f′(x)＝x²－a＝0，x₁＝－，x₂＝，
當0＜a＜1時，＜1，
x∈(0，)時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減，
x∈(，1)時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增，
所以f(x)在x＝處取得最小值f()＝1－.
當a≥1時，≥1，
x∈[0,1]時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減，
所以f(x)在x＝1處取得最小值f(1)＝－a.
綜上所述，
當a≤0時，f(x)在x＝0處取最小值f(0)＝1；
當0＜a＜1時，f(x)在x＝處取得最小值f()＝1－；
當a≥1時，f(x)在x＝1處取得最小值f(1)＝－a.
(3)因為?m∈R，直線y＝－x＋m都不是曲線y＝f(x)的切線，
所以f′(x)＝x²－a≠－1對x∈R成立，
只要f′(x)＝x²－a的最小值大于－1即可，
而f′(x)＝x²－a的最小值為f(0)＝－a，
所以－a＞－1，即a＜1.
所以a的取值范圍是(－∞，－1)．