Question

某高校數學系計劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測試活動，分別由李老師和張老師負責，已知該系共有位學生，每次活動均需該系位學生參加（和都是固定的正整數）。假設李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立、隨機地發給該系位學生，且所發信息都能收到。記該系收到李老師或張老師所發活動通知信息的學生人數為
（1）求該系學生甲收到李老師或張老師所發活動通知信息的概率；
（2）求使取得最大值的整數。

Answer 1

（1）     （2）見解析

本題是概率壓軸題，難度大，文字多，考生不一定能夠有時間去讀懂，不僅如此還考查到了分類討論思想，難度更高一層，但細細想來，它也就那回事．第（1）題該系學生甲收到李老師或張老師所發活動通知信息要從反面角度去思考，沒有收到信息的概率是什么，由于A和B是相互獨立，，沒有收到信息的概率正好是，所以最后的結果就能求出；第（2）題考查的考點比較多，而且和都是變量，遇到變量就要做好討論的準備，于是本題要從和兩個角度考慮．當時，，；當時，整數滿足，其中是和中的較小者，從而表示出，接著要根據題意找出不等關系：，化簡分離出，而是否為整數，需要討論，還需要考慮是否成立的問題，于是，接下來一方面需要討論是否為整，另一方面要證明，詳細的解答如下．
設事件A：“學生甲收到李老師所發信息”，事件B：“學生甲收到張老師所發信息”，由題意A和B是相互獨立的事件，則與 相互獨立，
而
所以
因此，學生甲收到活動通知信息的概率為
．
當時，只能取，有
當，整數滿足，其中是和中的較小者．“李老師和張老師各自獨立、隨機地發活動通知信息給位同學”所包含的基本事件總數為．
當時，同時收到李老師和張老師轉發信息的學生人數恰為，僅收到李老師或僅收到張老師轉發信息的學生人數為，則由乘法計數原理知：事件所含基本事件數為
此時
當，
化簡解得
假如成立，
則當能被整除時，
，故在和處達到最大值；
則當不能被整除時，在處達最大值．（注：表示不超過的最大整數）．
下證：
因為，所以，
，故，顯然．
因此．
點評：考查古典概型，計數原理，分類討論思想等基礎知識．，以及運用數學知識分析和解決實際問題的能力．