Question

設a_n=1+q+q²+…+q^n-1（n∈N^*，q≠±1），A_n=C_n¹a₁+C_n²a₂+…+C_nⁿa_n．
（1）用q和n表示A_n；
（2）當-3＜q＜1時，求．

Answer 1

解：（1）因為q≠1，
所以a_n=1+q+q²+…+q^n-1=．
于是A_n=C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ
=[（C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）-（C_n¹q+C_n²q²+…+C_nⁿqⁿ）]
={（2ⁿ-1）-[（1+q）ⁿ-1]}
=[2ⁿ-（1+q）ⁿ]．
（2）=[1-（）ⁿ]．
因為-3＜q＜1，且q≠-1，
所以0＜||＜1．
所以=．
分析：（1）利用等比數列的前n項和公式求出a_n，利用二項式系數和是2ⁿ及二項式定理的逆用，求出A_n．
（2）先化簡，再利用公式其中0＜|q|＜1求出極限值．
點評：本題考查等比數列的前n項和公式；二項式系數的性質；二項式定理的逆用；利用特殊的極限值求函數的極限．