Question

【題目】已知a∈R，函數(shù)f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R)．

(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）[，+∞）

【解析】

（1）求出a=2的函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間；

（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（x）≥0在（﹣1，1）上恒成立，即為a﹣x2+（a﹣2）x≥0，即有x2﹣（a﹣2）x﹣a≤0，再由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到不等式組，即可解得a的范圍．

（1）a=2時(shí)，f（x）=（﹣x2+2x）ex的導(dǎo)數(shù)為

f′（x）=ex（2﹣x2），

由f′（x）＞0，解得﹣＜x＜，

由f′（x）＜0，解得x＜﹣或x＞．

即有函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（﹣∞，﹣），（，+∞），

單調(diào)增區(qū)間為（﹣，）．

（2）函數(shù)f（x）=（﹣x2+ax）ex的導(dǎo)數(shù)為

f′（x）=ex[a﹣x2+（a﹣2）x]，

由函數(shù)f（x）在（﹣1，1）上單調(diào)遞增，

則有f′（x）≥0在（﹣1，1）上恒成立，

即為a﹣x2+（a﹣2）x≥0，即有x2﹣（a﹣2）x﹣a≤0，

則有1+（a﹣2）﹣a≤0且1﹣（a﹣2）﹣a≤0，

解得a≥．

則有a的取值范圍為[，+∞）．