Question

【題目】已知橢圓的離心率，左頂點到直線的距離，為坐標原點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線與橢圓相交于兩點，若以為直徑的圓經過坐標原點，證明：到直線的距離為定值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）見解析

【解析】

（1）結合離心率，計算出a,b,c之間的關系，利用點到直線距離，計算a,b值，即可。（2）分直線AB斜率存在與不存在討論，結合直線方程和橢圓方程,并利用,計算O到直線距離,即可.

（1）∵橢圓的離心率，

∴，

∴，

∵，

∴，即，

∵橢圓的左頂點到直線，即到的距離，

∴，

把代入得：，解得：，

∴，，

∴橢圓的方程為.

（2）設，

①當直線的斜率不存在時，由橢圓的性質可得：，，

∵當直線的斜率不存在時，以為直徑的圓經過坐標原點，

∴，即，也就是，

又∵點在橢圓上， ∴，

∵以為直徑的圓經過坐標原點，且平行于軸，

∴，∴，解得：

此時點到直線的距離

②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

與橢圓方程聯立有，消去，得

∴，，

同理：，消去，得，

即，∴

∵為直徑的圓過坐標原點，所以，∴

∴

∴

∴

∴點到直線的距離

綜上所述，點到直線的距離為定值.