Question

對于正整數k，g（k）表示k的最大奇因數，如g（1）=1，g（2）=1，g（3）=3，g（4）=1，…，記f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ），其中n為正整數．
（1）分別計算g（1）+g（3）+g（5）+g（7）；g（1）+g（2）+g（3）+g（4）；g（2）+g（4）+g（6）+g（8）；
（2）求證：當n≥2時，f（n）=4^n-1+f（n-1）；
（3）記a_n=f（n+1）+k（-1）ⁿf（n），當{a_n}為遞增數列時，求實數k的范圍．

Answer 1

分析：（1）k的最大奇因數是指k的約數當中的最大的奇數，由此定義可得g（1）=1，g（2）=1，g（3）=3，g（4）=1，g（5）=5，g（6）=3，g（7）=7，g（8）=1，代入要求了代數式，即可以得出它們的值；
（2）正整數分為正奇數和正偶數，由此將從1、2、…，到2ⁿ的數進行分類，可得當n≥2時，f（n）=g（1）+g（2）+
g（3）+…+g（2ⁿ）=g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）+g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）=（2^n-1）²+g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2^n-1））=4^n-1+f（n-1），等式成立；
（3）在（2）的結論的基礎上，可得f（n）-f（n-1）=4^n-1，然后分別將n=1、n=2、n=3，…，代入用累加的方法可以求得
f（n）=4²+4³+…+4^n-1+f（2）=

42(1-4n-2)

1-4

+6=

4n+2

3

成立，由此代入a_n=f（n+1）+k（-1）ⁿf（n），得出a_n的表達式．最后討論{a_n}為遞增數列，說明a_n+1-a_n＞0在正整數范圍內恒成立，可以得出-2＜k＜

16

7

．

解答：解：（1）g（1）+g（3）+g（5）+g（7）=1+3+5+7=16；
g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=1+1+3+1=6；
g（2）+g（4）+g（6）+g（8）=1+1+3+1=6
（2）證明：∵g（2）+g（4）+g（6）+…+g（2k）
=g（2•1）+g（2•2）+g（2•3）+…+g（2•k）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（k）
∴當n≥2時，f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ）
=g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）+g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）
=1+3+5+…+（2ⁿ-1）+g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2^n-1）
=

1+2n-1

2

(2n-1)+f(n-1)=4^n-1+f（n-1）
（3）由（2）得，當n≥2時，f（n）=4^n-1+f（n-1），即f（n）-f（n-1）=4^n-1
∴f（3）-f（2）=4²，f（4）-f（3）=4³，f（n）-f（n-1）=4^n-1
可得f（n）=4²+4³+…+4^n-1+f（2）=

42(1-4n-2)

1-4

+6=

4n+2

3

當n=1時，f（1）=g（1）+g（2）=1+1=2也成立，
∴f(n)=

4n+2

3

n∈N^*
an=f(n+1)+k(-1)nf(n)=

4n+1+2

3

+k(-1)n

4n+2

3

∵{a_n}為遞增數列
∴當n∈N^*時，a_n+1-a_n=

4n+2+2

3

+k(-1)n+1

4n+1+2

3

-

4n+1+2

3

-k(-1)n

4n+2

3

=4n+1+

1

3

k(-1)n+1(5•4n+4)＞0恒成立
當n為正奇數時，k＞-

12•4n

5•4n+4

=-

12

5

+

48

25•4n+20

∵當n=1時，-

12

5

+

48

25•4n+20

取到最大值-2
∴k＞-2；
當n為正偶數時，k＜

12•4n

5•4n+4

=

12

5

-

48

25•4n+20

∵當n=2時，

12

5

-

48

25•4n+20

取到最小值

16

7

∴k＜

16

7

∴-2＜k＜

16

7

點評：本題綜合了數列的通項與求和的方法、函數的單調性和不等式恒成立等復雜知識點，屬于難題．解題時要注意數列當中的歸納方法與證明不等式恒成立時的放縮的技巧，本題綜合性較強，適合基礎較好的同學．