Question

已知函數f(x)=

sinx，sinx≥cosx cosx，sinx＜cosx.

給出函數f（x）的下列五個結論：①最小值為-

2

2

； ②一個單增區間是（-

3π

4

，

π

2

）；③其圖象關于直線x=kπ+

π

4

（k∈Z）對稱； ④最小正周期為2π； ⑤將其圖象向左平移

π

4

后所得的函數是奇函數． 其中正確結論的個數是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：f（x）的含義是取y=sinx和y=cosx的較大者，所以先在同一坐標系內畫出y=sinx和y=cosx的圖象，然后取上方的部分，就得到f（x）的圖象．畫出圖象來之后，就很容易的找出單調區間，最大最小值，對稱軸方程，平移后的奇偶性，同時也容易得到周期．

解答：解：如圖實線即為f（x）的圖象．
單調增區間為[2kπ+

π

4

，2kπ+

π

2

]，[2kπ+

5π

4

，2kπ+2π]（k∈Z），
單調減區間為[2kπ，2kπ+

π

4

]，[2kπ+

π

2

，2kπ+

5π

4

]（k∈Z），
f（x）_max=1，f（x）_min=-

2

2

．
f（x）為周期函數，T=2π．
①最小值為-

2

2

；正確；
 ②一個單增區間是（-

3π

4

，

π

2

），錯誤；
③其圖象關于直線x=kπ+

π

4

（k∈Z）對稱；正確；
 ④最小正周期為2π；正確；
 ⑤將其圖象向左平移

π

4

后所得的函數是奇函數．錯誤，是偶函數．
故選C．

點評：必須看出本題中f（x）的含義是去正弦和余弦的較大者，然后只要畫出圖象來不難解決其他的問題．