Question

如圖，邊長為a的正△ABC的中線AF與中位線DE相交于G，已知△A′ED是△AED繞DE旋轉過程中的一個圖形，現給出下列四個命題：

①動點A′在平面ABC上的射影在線段AF上； 

②恒有平面A′GF⊥平面BCED；

③三棱錐A′—FED的體積有最大值；

④異面直線A′E與BD不可能互相垂直；

其中正確命題的序號是              ．

 

Answer 1

【答案】

①②③

【解析】

試題分析：過A′作A'H⊥面ABC，垂足為H，因為△ABC為正三角形且中線AF與中位線DE相交，所以AG⊥DE A′G⊥DE，又因為AG∩A′G=G，所以DE⊥面A′GA，

因為DE⊂面ABC，所以面A′GF⊥面ABC且面A′GA∩面ABC=AF

所以H在AF上，故恒有平面A′GF⊥平面BCED，故①對③對．

S_{三棱錐A′-FED}=S_△EFD•A′H，因為底面面積是個定值，所以當A′H為A′G時，三棱錐的面積最大，故②對；在△A′ED是△AED繞DE旋轉的過程中異面直線A′E與BD可能互相垂直，故④不對故答案為：（1）（2）（3）．

考點：本題考查平空間中點、線、面的位置關系；線面、面面垂直的判定定理與性質定理；異面直線所成的角；命題真假的判斷。

點評：此類題型一般涉及多個知識點，綜合性較強，但難度不大。對于錯誤的命題舉出反例即可．