Question

設函數f（x）=a^x+b^x-c^x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a，b，c是△ABC的三條邊長，則下列結論正確的是______．（寫出所有正確結論的序號）
①?x∈（-∞，1），f（x）＞0；
②?x∈R，使a^x，b^x，c^x不能構成一個三角形的三條邊長；
③若△ABC為鈍角三角形，則?x∈（1，2），使f（x）=0．

Answer 1

①∵a，b，c是△ABC的三條邊長，∴a+b＞c，
∵c＞a＞0，c＞b＞0，∴0＜

a

c

＜1，0＜

b

c

＜1，
當x∈（-∞，1）時，f（x）=a^x+b^x-c^x=cx[(

a

c

)x+(

b

c

)x-1]＞cx?(

a

c

+

b

c

-1)=cx?

a+b-c

c

＞0，∴①正確．
②令a=2，b=3，c=4，則a．b．c可以構成三角形，但a²=4，b²=9，c²=16卻不能構成三角形，∴②正確．
③∵c＞a＞0，c＞b＞0，若△ABC為鈍角三角形，∴a²+b²-c²＜0，
∵f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a²+b²-c²＜0，
∴根據根的存在性定理可知在區間（1，2）上存在零點，即?x∈（1，2），使f（x）=0，∴③正確．
故答案為：①②③．