Question

下列四個命題中
①若a，b，c∈R，則“ac²＞bc²”是“a＞b”成立的充分不必要條件；
②當x∈（0，

π

4

）時，函數y=sinx+

1

sinx

的最小值為2；
③命題“若|x|＞2，則x≥2或x≤-2”的否命題是“若|x|＜2，則-2＜x＜2”；
④函數f（x）=lnx+x-

3

2

在區間（1，2）上有且僅有一個零點．
其中正確命題的序號是

①④

．

Answer 1

分析：①根據不等式的基本性質，“a＞b”不一定“ac²＞bc²”結論，因為必須有c²＞0這一條件；反過來若“ac²＞bc²”，說明c²＞0一定成立，一定可以得出“a＞b”，即可得出答案；
②利用基本不等式求最小值時，一定要注意等號成立的條件；
③本題考查四種命題中否命題的書寫，由定義知，原命題的條件的否定作條件，結論的否定作結論即可得到命題的否命題，由此規則寫出否命題即可；
④在同一坐標系中分別畫出對數函數y=lnx和函數y=-x+

3

2

的圖象，其交點就是原函數的零點，進而驗證零點個數即可．

解答：解：①充分不必要條件．當c=0時，a＞b?ac²＞bc²；當ac²＞bc²時，說明c≠0，
有c²＞0，得ac²＞bc²⇒a＞b．故“ac²＞bc²”是“a＞b”成立的充分不必要條件正確．
②：y=sinx+

1

sinx

≥2，由于其等號成立的條件是sinx=1，而當x∈（0，

π

4

）時，此式不成立，故②錯；
③：由題意命題“若|x|＞2，則x≥2或x≤-2”的否命題是“若|x|≤2，則-2＜x＜2”故③不正確；
④根據題意如圖：由lnx+x-

3

2

=0得lnx=-x+

3

2

，
在同一坐標系中分別畫出對數函數y=lnx和函數y=-x+

3

2

的圖象，其交點個數只有一個，故④正確．
故答案為：①④．

點評：本題考查不等式的性質和充要條件的判斷，考查四種命題，考查函數的零點與方程根的關系，考查利用數形結合進行求解，是一道好題，本題是基本概念題．