Question

如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝.

(1)若點M是棱PC的中點，求證：PA∥平面BMQ；
(2)若二面角M—BQ—C為30°，設PM＝tMC，試確定t的值．

Answer 1

（1）見解析  （2）t＝3.

(1)證明　連接AC，交BQ于N，連接MN.
∵BC∥AD且BC＝AD，
即BC綊AQ.
∴四邊形BCQA為平行四邊形，且N為AC中點，
又∵點M是棱PC的中點，
∴MN∥PA.
∵MN?平面BMQ，PA?平面BMQ，
∴PA∥平面BMQ.
(2)解　∵PA＝PD，Q為AD的中點，
∴PQ⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PQ⊥平面ABCD.
如圖，以Q為原點建立空間直角坐標系．

則平面BQC的法向量為n＝(0,0,1)；
Q(0,0,0)，P(0,0，)，B(0，，0)，C(－1，，0)．
設M(x，y，z)，則＝(x，y，z－)，
＝(－1－x，－y，－z)，
∵＝t，
∴∴
在平面MBQ中，＝(0，，0)，
＝，
∴平面MBQ的法向量為m＝(，0，t)．
∵二面角M—BQ—C為30°，
cos 30°＝＝＝，∴t＝3.