Question

已知{a_n}是公差為d的等差數列，{b_n}是公比為q的等比數列，設m，n，p，k都是正整數．
（1）求證：若m+n=2p，則a_m+a_n=2a_p，b_mb_n=（b_p）²；
（2）若a_n=3n+1，是否存在m，k，使得a_m+a_m+1=a_k？請說明理由；
（3）求使命題P：“若b_n=aqⁿ（a、q為常數，且aq≠0）對任意m，都存在k，有b_mb_m+1=b_k”成立的充要條件．

Answer 1

解：（1）∵{a_n}是公差為d的等差數列，
∴a_m=a₁+（m-1）d，a_n=a₁+（n-1）d，a_m+a_n=2a₁+（m+n-2）d，
又m+n=2p，∴a_m+a_n=2a₁+2（p-1）d，
∵a₁+（p-1）d=a_p，∴a_m+a_n=2a_p． …（3分）
∵{b_n}是公比為q的等比數列，
∴b_m=b₁q^m-1，b_n=b₁q^n-1，b_mb_n=b₁²q^m+n-2，
∵m+n=2p，
∴b_mb_n=b₁²q^2p-2=b₁q^p-1•b₁q^p-1=b_p•b_p=b_p²．　…（6分）
（2）假設存在m，k，使得a_m+a_m+1=a_k，由a_m+a_m+1=a_k得6m+5=3k+1，
即
Qm、k∈N^*，∴k-2m為整數，矛盾．∴不存在m、k∈N⁺，使等式成立．（10分）
（3）“若b_n=aqⁿ（a、q為常數，且aq≠0）對任意m，都存在k，有b_mb_m+1=b_k”成立，取m=1，
得b₁b₂=b_k，∴a²q³=aq^k，∴a=q^k-3，即a=q^c，其中c是大于等于-2的整數．（13分）
反之，當a=q^c（c是大于等于-2的整數）時，有b_n=q^n+c，
顯然b_m?b_m+1=q^m+c?q^m+1+c=q^2m+1+2c=b_k，其中k=2m+1+c．
∴所求的充要條件是a=q^c，其中c是大于等于-2的整數．…（16分）
分析：（1）根據等差數列、等比數列的通項公式即可證得；
（2）由a_m+a_m+1=a_k，得6m+5=3k+1，，由m、k∈N^*，知k-2m為整數，所以不存在m、k∈N^*，使等式成立．
（3）“若b_n=aqⁿ（a、q為常數，且aq≠0）對任意m，都存在k，有b_mb_m+1=b_k”成立，取m=1，可得a=q^c，其中c是大于等于-2的整數，再說明反之也成立，從而得結論．
點評：本題以等差數列、等比數列為載體，考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．