Question

已知函數(shù)f（x）=lg（1+x）-lg（1-x）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）求方程f（x）=1的解集．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),對數(shù)的運算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）x需滿足：

1+x＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜1，可得函數(shù)的定義域；
（2）計算f（-x），觀察是否等于±f（x），再由奇偶性定義即可得到；
（3）方程f（x）=1可化為lg（1+x）-lg（1-x）=1，變形為lg

1+x

1-x

=1，進一步得出

1+x

1-x

=10，解方程即可．

解答： 解：（1）要使函數(shù)有意義，x需滿足：

1+x＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜1，
所以函數(shù)的定義域為（-1，1）
（2）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
理由如下：函數(shù)f（x）=lg（1+x）-lg（1-x），
∵定義域為（-1，1），∴關(guān)于原點對稱，
∵f（-x）=lg（1-x）-lg（1+x）=-f（x），
則f（x）為奇函數(shù)．
（3）方程f（x）=1可化為lg（1+x）-lg（1-x）=1，
∴lg

1+x

1-x

=1，∴

1+x

1-x

=10，解得x=

9

11

，
∴方程的解集為{x|x=

9

11

}

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷，注意首先考慮函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯題．