Question

（2012•紹興一模）已知函數f（x）=2asinxcosx-2bsin²x+b（a、b為常數，且a＜0）的圖象過點（0，

3

），且函數f（x）的最大值為2．
（1）求函數y=f（x）的解析式，并寫出其單調遞增區間；
（2）把函數y=f（x）的圖象向右平移m（m＞0）個單位，使所得的圖象關于y軸對稱，求實數m的最小值及平移后圖象所對應的函數解析式．

Answer 1

分析：（1）由倍角的正弦公式對解析式化簡，再把條件：最大值和圖象上點得坐標代入列出方程進行求出a和b，代入化簡后的解析式，利用兩角和的余弦公式化簡，再由余弦函數的增區間和“整體思想”求解；
（2）由題意得平移后的函數應是余弦型的函數，再由（1）求出的解析式和平移法則求出m的最小值和解析式．

解答：解：（1）由題意得f（x）=asin2x-b（1-cos2x）+b=asin2x+bcos2x，
∴f（x）的最大值為

a2+b2

，即

a2+b2

=2  ①
∵圖象過點（0，

3

），∴f(0)=b=

3

   ②，
由①②解得a²=1，又∵a＜0，∴a=-1，
∴f(x)=-sin2x+

3

cos2x=2cos(2x+

π

6

)，
由2kπ-π≤2x+

π

6

≤2kπ（k∈Z）得，kπ-

7π

12

≤xkπ-

π

12

，
∴y=f（x）的遞增區間是[kπ-

7π

12

，kπ-

π

12

]（k∈z），
（2）把函數f(x)=2cos2(x+

π

12

)的圖象向右平移

π

12

個單位，得y=2cos2x的圖象關于y軸對稱，所以正數m_min=

π

12

，
故平移后的圖象對應的函數解析式為：y=2cos2x．

點評：本題考查了余弦函數性質的應用和三角函數圖象的平移變換，以及倍角的正弦公式、兩角和的余弦公式在化簡解析式中的應用．