Question

已知函數f（x）的圖象經過點（1，λ），且對任意x∈R，
都有f（x+1）=f（x）+2．數列{a_n}滿足．
（1）當x為正整數時，求f（n）的表達式；（2）設λ=3，求a₁+a₂+a₃+…+a_2n；
（3）若對任意n∈N^*，總有a_na_n+1＜a_n+1a_n+2，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

（1）2²ⁿ+n﹣2．（2）λ的取值范圍為（﹣2，+∞）．

試題分析：解：
（1）記b_n=f（n），由f（x+1）=f（x）+2有b_n+1﹣b_n=2對任意n∈N^*都成立，
又b₁=f（1）=λ，所以數列b_n為首項為λ公差為2的等差數列，   2分
故b_n=2n+λ﹣2，即f（n）=2n+λ﹣2．   4分
（2）由題設λ=3
若n為偶數，則a_n=2^n﹣1；若n為奇數且n≥3，則a_n=f（a_n﹣1）=2a_n﹣1+λ﹣2=2•2^n﹣2+λ﹣2=2^n﹣1+λ﹣2=2^n﹣1+1
又a₁=λ﹣2=1，
即- 6分
a₁+a₂+a₃++a_2n=（a₁+a₃++a_2n﹣1）+（a₂+a₄++a_2n）=（2⁰+2²++2^2n﹣2+n﹣1）+（2¹+2³++2^2n﹣1）
=（1+2¹+2²++2^2n﹣1）+n﹣1=2²ⁿ+n﹣2．  8分
（3）當n為奇數且n≥3時，a_n+1a_n+2﹣a_na_n+1=a_n+1（a_n+2﹣a_n）=2ⁿ[2ⁿ⁺¹+λ﹣2﹣（2^n﹣1+λ﹣2）]=3•2^2n﹣1＞0； 10分
當n為偶數時，a_n+1a_n+2﹣a_na_n+1=a_n+1（a_n+2﹣a_n）=（2ⁿ+λ﹣2）（2ⁿ⁺¹﹣2^n﹣1）]=3•2^n﹣1（2ⁿ+λ﹣2），因為a_na_n+1＜a_n+1a_n+2，所以2ⁿ+λ﹣2＞0，
∵n為偶數，∴n≥2，
∵2ⁿ+λ﹣2單增∴4+λ﹣2＞0，即λ＞﹣2
故λ的取值范圍為（﹣2，+∞）．  12分
點評：解決的關鍵是利用數列的通項公式以及數列的單調性來得到證明，屬于中檔題。