Question

已知等差數列{b_n}的前n項和為T_n，且T₄=4，b₅=6．
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）若正整數n₁，n₂，…，n_t，…滿足5＜n₁＜n₂＜…＜n_t，…且b₃，b₅，bn1，bn2，…，bnt，…成等比數列，求數列{n_t}的通項公式（t是正整數）；
（3）給出命題：在公比不等于1的等比數列{a_n}中，前n項和為S_n，若a_m，a_m+2，a_m+1成等差數列，則S_m，S_m+2，S_m+1也成等差數列．試判斷此命題的真假，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）本題是對數列的基本量的考查，根據通項公式、前n項和公式公式，算出公差和首項，寫出通項公式．
（2）根據等比數列中前兩項求出公比，寫出通項bnt=b₅•3^t=2•3^t+1 ，又bnt是{bn}中的第n_t項，又可表示成b_nt=2n_t-4．根據這兩式的相等性寫出{n_t}的通項．
（3）由a_m，a_m+2，a_m+1成等差數列，求出公比q=-

1

2

_{^{再利用等差數列定義判斷}}S_m，S_m+2，S_m+1是否成等差數列．

解答：解：（1）由已知，

4b1+6d=4 b1+4d=6

，∴d=2，b₁=-2，∴bn=b₁+（n-1）d=2n-4．
（2）b3=2，且b₃，b₅，bn1，bn2，…，bnt，…成等比數列，所以公比q=

b5

b3

=3，所以b_nt=b₅•3^t=2•3^t+1，t∈N^*．
又b_nt=2n_t-4，所以2n_t-4=2•3^t+1，所以n_t=3^t+1+2，t∈N^*．
 （3）此命題為真命題．
若a_m，a_m+2，a_m+1成等差數列，即a₁q ^m-1+a₁q^m=2a₁q ^m+1，移向化簡整理得qm-1（2q2-q-1）=0，q=-

1

2

_^，
S_m+2-S_m=a _m+1+a _m+2=a _m+2 （

1

q

+1）=-a _m+2．S_m+1-S_m+2=-a _m+2．∴S_m，S_m+2，S_m+1也成等差數列．

點評：本題考查等差數列通項公式求解，等差數列的判定，等比數列的通項公式及應用．考查閱讀分析、理解、計算能力．