Question

已知橢圓上任一點P，由點P向x軸作垂線段PQ，垂足為Q，點M在PQ上，且，點M的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點D（0，-2）作直線l與曲線C交于A、B兩點，設N是過點且平行于x軸的直線上一動點，滿足（O為原點），問是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線的方程；若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設M（x，y）是所求曲線上的任意一點，然后得出的坐標代入方程，化簡即可求出軌跡C的方程．
（2）設出直線l的方程，以及與橢圓的交點坐標，將直線方程代入已知C的方程，聯立并化簡，根據根的判別式計算
解答：解：（1）設M（x，y）是曲線C上任一點，因為PM⊥x軸，，所以點P的坐標為（x，3y） （2分）
點P在橢圓上，所以，因此曲線C的方程是…（5分）
（2）當直線l的斜率不存在時，顯然不滿足條件
所以設直線l的方程為y=kx-2與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N點所在直線方程為，…（6分）
由，…（8分）
因為，所以四邊形OANB為平行四邊形，…（10分）
假設存在矩形OANB，則，即x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0，
所以，…（12分）
設N（x，y），由，得，
即N點在直線，所以存在四邊形OANB為矩形，直線l的方程為y=±2x-2…（15分）
點評：本題考查圓錐曲線的綜合運用以及軌跡方程的應用，通過對圓錐曲線知識的綜合運用，考查學生的能力，屬于中檔題．