Question

已知為平面內的兩個定點，動點P滿足|PF₁|+|PF₂|=4，記點P的軌跡為曲線г．
（Ⅰ）求曲線г的方程；
（Ⅱ）判斷原點O關于直線x+y-1=0的對稱點R是否在曲線г包圍的范圍內？說明理由．
（說明：點在曲線г包圍的范圍內是指點在曲線г上或點在曲線г包圍的封閉圖形的內部．）
（Ⅲ）設Q是曲線г上的一點，過點Q的直線l 交 x 軸于點F（-1，0），交 y 軸于點M，若，求直線l 的斜率．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意利用橢圓的定義即可得出；
（II）解法一：利用軸對稱（垂直平分）的知識可求出：原點O關于直線x+y-1=0的對稱點為R（m，n），再判斷是否成立即可．
解法二：同解法一求出點R（m，n），進而得到直線OR的方程，與橢圓方程聯立即可得出交點G，H．判斷點R是否在在線段GH上即可．
（III）由已知可得直線l的方程，可得點M的坐標，由Q，F，M三點共線，及，即可得出點Q的坐標，代入橢圓方程即可得到直線l的斜率．
解答：解：（Ⅰ）由題意可知，點P到兩定點的距離之和為定值4，
所以點P的軌跡是以為焦點的橢圓．
又，所以．
故所求方程為．
（Ⅱ）解法一：設原點O關于直線x+y-1=0的對稱點為R（m，n），
由點關于直線的對稱點的性質得：，解得即R（1，1）．
此時，∴R在曲線г包圍的范圍內．
解法二：設原點O關于直線x+y-1=0的對稱點為R（m，n），
由點關于直線的對稱點的性質得：，解得即R（1，1），
∴直線OR的方程：y=x
設直線OR交橢圓于G和H，
由得：或即，．
顯然點R在線段GH上．∴點R在曲線г包圍的范圍內．
（Ⅲ）由題意知直線l 的斜率存在，設直線l 的斜率為k，直線l 的方程為y=k（x+1）．
則有M（0，k），設Q（x₁，y₁），由于Q，F，M三點共線，且，
根據題意，得（x₁，y₁-k）=±2（x₁+1，y₁），解得．
又點Q在橢圓上，所以．
解得k=0，k=±4．
綜上，直線l 的斜率為k=0，k=±4．
點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、軸對稱性質、點與橢圓的位置關系、向量關系等基礎知識與基本技能，考查了分析問題和解決問題的能力、推理能力和計算能力．