Question

已知橢圓的右準線l₁：x=2與x軸相交于點D，右焦點F到上頂點的距離為，點C（m，0）在線段OF上．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在過點F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A、B兩點，使得？若存在，求出l的斜率；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）．
∵，
∴c=1，
∴b=1，
∴橢圓的方程．
（2）由（1）知F（1，0），
假設存在直線l，設其方程為：y=k（x-1），
代入，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），，，
∴，
=，
∵，
而AB的方向向量為（1，k），
∴，
∴，
∴，k=．
故存在過點F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A、B兩點，使得，l的斜率k=．
分析：（1）．，由此能求出橢圓的方程．
（2）由F（1，0），假設存在直線l，設其方程為：y=k（x-1），代入，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，再由韋達定理結合題設條件能夠求出存在過點F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A、B兩點，使得，l的斜率k=．
點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，橢圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．