Question

【題目】已知拋物線的頂點為，焦點為.

（1）求拋物線的方程；

（2）過點作直線交拋物線于，兩點，若直線、分別交直線于，兩點，求的最小值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)

【解析】

（1）由拋物線的幾何性質及題設條件焦點F（0，1）可直接求得p，確定出拋物線的開口方向，寫出它的標準方程；

（2）由題意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為y＝kx+1，將直線方程與（1）中所求得方程聯(lián)立，再結合弦長公式用所引入的參數(shù)表示出|MN|，根據(jù)所得的形式作出判斷，即可求得最小值．

（1）由已知可設拋物線的方程為：，則.

所以拋物線的方程是.

（2）設，，所以，，所以直線的方程是：.

由，∴，同理由，∴.

所以.①

設，由∴，

∴

且，代入①得到：

，

設，，則，

①當時，

；

②當時，

，

當時，取得最小值，此時，；

綜上所述：的最小值是.