Question

【題目】設f（x）、g（x）、h（x）是定義域為R的三個函數，對于命題：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均為增函數，則f（x）、g（x）、h（x）中至少有一個增函數；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T為周期的函數，則f（x）、g（x）、h（x）均是以T為周期的函數，下列判斷正確的是（　　）
A.①和②均為真命題
B.①和②均為假命題
C.①為真命題，②為假命題
D.①為假命題，②為真命題

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①不成立．可舉反例：f（x）= ．g（x）= ，h（x）= ．
②∵f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），
前兩式作差可得：g（x）﹣h（x）=g（x+T）﹣h（x+T），結合第三式可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），同理可得：f（x）=f（x+T），因此②正確．
故選：D．
①不成立．可舉反例：f（x）= ．g（x）= ，h（x）= ．
②由題意可得：f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），
可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），f（x）=f（x+T），即可判斷出真假．；本題考查了函數的單調性與周期性、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．