Question

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若曲線與曲線在公共點(diǎn)處有共同的切線，求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，試問(wèn)函數(shù)是否有零點(diǎn)？如果有，求出該零點(diǎn)；若沒有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（I）；（II）無(wú)零點(diǎn).

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)曲線與曲線公共點(diǎn)為則由，，即可求的值；

（Ⅱ）函數(shù)是否有零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間是否有交點(diǎn)，求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知最小值為，最大值為，從而無(wú)零點(diǎn)

試題解析：

（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，

設(shè)曲線與曲線公共點(diǎn)為

由于在公共點(diǎn)處有共同的切線，所以，解得，.

由可得.

聯(lián)立解得.

（Ⅱ）函數(shù)是否有零點(diǎn)，

轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間是否有交點(diǎn)，

，可得，

令，解得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；

令，解得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值，.

可得，

令，解得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；

令，解得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值即最大值，.

因此兩個(gè)函數(shù)無(wú)交點(diǎn).即函數(shù)無(wú)零點(diǎn).