【題目】函數
，
.
（1）若
，求函數
的單調區間；
（2）若
恒成立，求實數
的取值范圍；
（3）設
，
，
為曲線
上兩點，且
，設直線
斜率為，
，證明：
【答案】（1）
的單調遞減區間為
，單調遞增區間為
（2）
（3）見證明
【解析】
（1）求出
，在定義域內，分別令
求得
的范圍，可得函數
增區間，
求得的范圍，可得函數的減區間；（2）
恒成立，等價于
恒成立，設
，利用導數研究函數
的單調性，求出函數的最大值，從而可得結果; （3）要證
即證
，設
，只需證明 
，其中
，設
，利用導數證明
即可得結論.
（1）當
時，函數
，
.
.
當
時，
，當
時，
，
則函數的單調遞減區間為
，單調遞增區間為
.
（2）恒成立，即
恒成立，整理得：恒成立，設，則
，令
，得
，所以，在
上函數單調遞增，在
上單調遞減.
所以當時，函數取得最大值
，因此.
（3）
，
又
，所以
要證.
即證，因為
，
即證
，
設，即證：
，
也就是要證：，其中，
設，
則
，
所以
在上單調遞增，因此.即：.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】小威初三參加某高中學校的數學自主招生考試，這次考試由十道選擇題組成，得分要求是：做對一道題得1分，做錯一道題扣去1分，不做得0分，總得分7分就算及格，小威的目標是至少得7分獲得及格，在這次考試中，小威確定他做的前六題全對，記6分，而他做余下的四道題中，每道題做對的概率均為p
，考試中，小威思量：從余下的四道題中再做一題并且及格的概率
；從余下的四道題中恰做兩道并且及格的概率
，他發現
，只做一道更容易及格.
（1）設小威從余下的四道題中恰做三道并且及格的概率為
，從余下的四道題中全做并且及格的概率為
，求及；
（2）由于p的大小影響，請你幫小威討論：小威從余下的四道題中恰做幾道并且及格的概率最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
是坐標原點，過
的直線分別交拋物線
于
、
兩點，直線
與過點平行于
軸的直線相交于點
，過點與此拋物線相切的直線與直線
相交于點
.則
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，
.
（1）當
時，求函數
圖象在
處的切線方程；
（2）若對任意
，不等式
恒成立，求
的取值范圍；
（3）若存在極大值和極小值，且極大值小于極小值，求的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
.
(1)當a=1時，求函數
在（2，
）處的切線方程:
(2)當a=2時，求函數的單調區間和極值;
(3)若
在
上是單調增函數，求實數a的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
過點
，過點
作直線
與拋物線
交于不同兩點
、
，過作
軸的垂線分別與直線
、
交于點
、
，其中
為坐標原點.
（1）求拋物線的方程；
（2）寫出拋物線的焦點坐標和準線方程；
（3）求證：為線段
的中點.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左.右焦點分別為
，
為坐標原點.
（1）若斜率為
的直線
交橢圓
于點
，若線段
的中點為
，直線
的斜率為
，求
的值；
（2）已知點
是橢圓上異于橢圓頂點的一點，延長直線
，
分別與橢圓交于點
，設直線
的斜率為
，直線
的斜率為
，求證：
為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】學校藝術節對同一類的
，
，
，
四項參賽作品，只評一項一等獎，在評獎揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學對這四項參賽作品預測如下：
甲說：“是或作品獲得一等獎”；
乙說：“作品獲得一等獎”；
丙說：“，兩項作品未獲得一等獎”；
丁說：“是作品獲得一等獎”.
若這四位同學中只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是__________．
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